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LA LEY DE LA GRAVEDAD |
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NEWTON, KEPLER, BRAHE
Kepler, revisando las observaciones minuciosas y bien documentadas del astrónomo Brahe dedujo :
1. Los planetas recorren órbitas elípticas alrededor del sol que ocupa uno de sus focos. Las áreas barridas en su movimiento, (triángulos formados por el elemento de trayectoria y foco) son proporcionales a los tiempos empleados en recorrerlas. Los cuadrados de los tiempos periódicos de las trayectorias son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las elipses.
Con esta información Newton se plantearía la definición de las fuerzas que actuarían entre el sol y cada uno de los astros que pudieran explicar las trayectorias definidas anteriormente.
De la 2ª ley, planteando en coordenadas polares las ecuaciones diferenciales del movimiento y la de la conservación de la energía, Binet dedujo la expresión de la fuerza necesaria en cada punto como función de la masa del planeta y la ecuación diferencial de la trayectoria.
F=-mk²/r²*(1/r+ d²(1/r)/dθ²)
Aplicando la 1ª ley y la ecuación de la cónica en coordenadas polares,1/r=1/p+e*cosθ/p, la ecuación de Binet, la 3ª ley y la igualdad de la acción y reacción se deduce la famosa fórmula de;
F=G*M*m/R²
siendo G una constante universal. La ecuación sólo será exacta si corrigiendo las interacciones entre planetas se cumplen exactamente las leyes de Kepler que son meras observaciones astronómicas.
Luego se planteó que esta ley se aplicaba de la misma manera a la caída de todos los cuerpos en la Tierra y que la masa gravitatoria era la misma que la de inercia, como se pudo comprobar por el experimento de Eotvos. Mucho más adelante, con la teoría de la Relatividad General de Einstein se dió un vuelco a la teoría de la gravedad de Newton y se ha explicado cuantitativamente otros fenómenos inexplicables por la anterior teoría. Sin embargo, a pesar de que además la perturbación producida por otros planetas complica la utilización directa de la teoría de Newton, la aplicación de las interacciones a solamente 2 cuerpos produce resultados razonables. Haremos algunas aplicaciones sencillas
PERIODO DE ROTACIÓN DE LA LUNA
Si la trayectoria es circular la velocidad a lo largo de la misma es aproximadamente constante. Si el radio de la Tierra R= 6370 Km, la velocidad media de la trayectoria de la Luna será V=2*π*60*R/T o T=2*π*60*R/V. La aceleración de la gravedad en la trayectoria de la Luna será g/60², g=9.81m/s² Para que se equilibre la fuerza centrífuga del movimiento de la Luna con la atracción producida por la Tierra m*V²/(60*R)=m*g/60² de donde V=√(g*R/60) =1020.53 m/s El período será T=2*π*60*R/V.=2353129.3 segundos o 27.235 días.
VELOCIDAD MINIMA DE UN PROYECTIL
Para que se mantenga en su trayectoria cercana a la Tierra, en el Ecuador, sin caer, despreciando la resistencia del aire m*V²/R=m*g de donde V=√(R*g)=7905 m/s
ALTURA DE UN SATELITE QUE GIRE CON LA TIERRA
R es el radio de la tierra, 6370 Km y Rt es el de la trayectoria del satélite m*g*(R/Rt)²=m*V²/Rt de donde V²=g*Rt*(R/Rt)² La velocidad media debe ser V= 2*π*Rt/(24*60*60) Rt=42.221.901.36m o 42.222 Km, Rt/R=6.628. La altura será de 42.222-6370=35852 Km
VIAJE A MARTE
Aquí utilizaremos la 3ª ley de Kepler y supondremos para simplificar que la órbita de la Tierra y de Marte alrededor del Sol son circulares.
La distancia de la Tierra al Sol de 150.000.000 Km se denomina en Astronomía, como unidad de distancia astronómica, el período para esa distancia es , como sabemos de 1 año.
La distancia de Marte al sol es de 1.5237 AU.o 228.555.000 Km. Su período s/Kepler será √(1.5237)³=1.8808 años.
Vamos a analizar la trayectoria planteada por Hohman;
Si suponemos que el satélite se lanza cuando la Tierra está en el perihelio, la trayectoria será una elipse cuyo eje mayor tendrá una longitud de 1+1.5237=2.5237 A.U.,su semieje 1.26185. Su período será √(1.26185)³=1.41746 años=517.37 días. La mitad es 258.68 días, 0.70873 años. Durante este tiempo, Marte que tiene un semiperíodo de 1.8808/2=0.9404 años habrá recorrido un arco de 0.70873/.9404*180º=135.656º.
Cuando la Tierra está en el punto A, en el perihelio, si se lanza el satélite recorriendo la elipse de Hohman tardará en llegar al punto B, 258.68días y para que coincida con Marte hace falta que este esté inicialmente en el punto C, hace falta que en el momento del lanzamiento coincida la posición de Marte en el punto C en que el ángulo es de 135.565º.
La posición de la Tierra en el momento de llegada del satélite a Marte queda fijada por el paso de 0.70873 años, 360*0.70873=255.143º, 255.143-180=75.143º en el punto D.
Si se volviera a lanzar inmediatamente de la llegada el satélite para la vuelta recorriendo la otra mitad de la elipse Hohman para llegar al punto A después de .70873 años .
La Tierra no estaría en ese punto, 75.143+255.143=330.286º.
Para que a la vuelta coincidan la posición del satélite y de la Tierra hace falta que en el momento del lanzamiento, si la posición de Marte es B1 la de la tierra esté a 75.143º a la derecha de modo que en el mismo tiempo que el satélite recorre la mitad de su órbita, la Tierra haya recorrido los 255.143º.
Hemos visto que mientras la Tierra recorre 1 órbita por año, Marte necesita 1.8808 años para recorrer su órbita, recorre 1/1.8808=0.531689 órbitas por año, avanzando la Tierra en 1-.531689=0.468311órbitas por año o 0.468311*360º=168.592º/año.
La Tierra debe avanzar 360-2*75.143=209.714º lo que tardará después de la llegada a Marte un período de tiempo de 209.714/168.592=1.2439 años=454 días hasta el lanzamiento de vuelta.
VELOCIDADES NECESARIAS
De la aplicación de la conservación de la energía en órbitas solares se define que la constante de la parte de energía potencial, K=Vo²*r1. Vo es la velocidad para mantenerse en un órbita solar siendo Vo√2=42.42Km/s la velocidad necesaria para salirse de la misma.
Se deduce que V1=Vo*√(2*r2/(r1+r2))=Vo*1.09887=32.966 Km/s que es la velocidad a la que hay que lanzar el satélite desde la Tierra.
La velocidad en el perihelio al llegar a Marte será de V2=V1*r1/r2=21.635 Km/s. La velocidad de Marte, supuesta la órbita circular es la que permite el recorrido de 2*π*1.5237*150.000.000 Km en 1.8808 años o 24.192 Km/s.
Al volver a la Tierra la velocidad V1 es de 32.966 Km/s. La velocidad de la Tierra es de 29.886 Km/s que permite recorrer los 2*π*150.000.000 Km en 1 año, sobran por tanto unos 3.1 Km/s que habrá que perderlos para llegar a la misma velocidad.
PUNTOS SINGULARES
Hemos visto cómo se ha definido la distancia a un satélite que gire alrededor de la Tierra a velocidad sincrónica.
Hay otros puntos singulares como los llamados de Lagrange .
El punto L1 se define para mantenerse en órbita solar a distancia constante de la Tierra, con una órbita que mantiene el mismo período. La atracción de la Tierra sobre el satélite debe reducir el efecto de la atracción para reducir el período de su órbita e igualarse al de la Tierra
G*Ms*m/(R-r)²-G*Mt*m/r²=m*v²/(R-r)=m/(R-r)*(2*π*(R-r)/T)² Siendo T el período de la órbita de la Tierra. G*Ms/(R-r)³-G*Mt/(r²*(R-r)²)=4*π²/T²=G*Ms/R³
Suponiendo que la relación de pesos entre la Tierra y el Sol es α=0.000003 y haciendo r/R=x, la variable que queremos calcular, queda la ecuación 1/(1-x)³-α/(x²*(1-x)=1que da x=0.00997. El punto L1 se sitúa a una distancia de la Tierra del 0.997% de la distancia al Sol.
Al otro lado de la Tierra está el punto L2.
Calculando del mismo modo pero teniendo en cuenta que las fuerzas y distancias se suman la ecuación es 1/(1+x)³+α/(x²*(1+ x)=1 que da para x=0.01, 1% de la distancia al Sol. En el punto L1 se encuentran los satélites SOHO y ACE que monitorizan el 1º el viento solar y el otro los rayos cósmicos. En el L2 el COBE y WMAP
Los L4 y L5 están a 60º formando un triángulo equilátero con la recta que une la Tierra y el Sol. Están a suficiente distancia como para que cualquier satélite se influenciaría por la atracción de otros planetas.
Tienen más interés los L4 y L5 correspondientes al sistema formado por la Tierra y la Luna. Los 2 en la órbita de la Luna alrededor de la Tierra y formando 60º uno adelantado y el otro atrasado. Se demuestra que son estables volviendo los satélites situados en estos puntos automáticamente a su posición de equilibrio.
El marco plano formado por los 3 cuerpos cuando el satélite está en la posición relativa marcada por L4 o L5 se mantiene por sí mismo en posición relativa estable Se les considera como posible localización habitable en un futuro
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Uno
de los acontecimientos que han tenido más importancia e influencia
en Astronomía y en Mecánica en general ha sido el descubrimiento de
la ley de la gravedad.
El punto L3
tiene menos interés y está situado al otro lado del Sol con respecto
a la Tierra.